Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(A...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí Menelaus chứng minh \(\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{FB}}{{FC}}\), từ đó suy ra \(MF\parallel AB\).

- Chứng minh tứ giác \(MEFC\) là tứ giác nội tiếp.

- Chứng minh \(\angle CEM = \angle NEM = {90^0}\), từ đó chứng minh \(C,\,\,E,\,\,N\) thẳng hàng.

Giải chi tiết:

Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác \(ACO\) ta có: \(\dfrac{{BA}}{{BO}}.\dfrac{{IO}}{{IC}}.\dfrac{{MC}}{{MA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{IO}}{{IC}} = \dfrac{{MA}}{{2MC}}\,\,\left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\dfrac{{IO}}{{IC}} = \dfrac{{FB}}{{2FC}}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{FB}}{{FC}} \Rightarrow MF\parallel AB\) (Định lý Thales đảo)

Mà \(AB \bot BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow MF \bot BC \Rightarrow \widehat {MFC} = {90^0}.\)

Ta có: \(\angle EFB = \angle EBA\) (cùng phụ với \(\angle EAB\))

          \(\angle EBA = \angle EMC\) (tứ giác \(AMEB\) nội tiếp)

\( \Rightarrow \angle EFB = \angle EMC \Rightarrow MEFC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {MEC} = \widehat {MFC} = {90^0}\)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MC\)) \( \Rightarrow ME \bot EC.\)

Lại có \(\widehat {MEN} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow ME \bot EN.\)

\( \Rightarrow \angle CEN = \angle CEM + \angle NEM = {180^0}\) \( \Rightarrow C,\,\,E,\,\,N\) thẳng hàng \( \Rightarrow \)\(CE,OM,AD\) đồng quy tại \(N\) (đpcm).