Cho \(100\) số tự nhiên tùy ý, chứng minh rằng tồn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bài toán thực chất là đi chứng minh tồn tại \(10\) số trong \(100\) số đã cho có cùng số dư khi chia cho \(11\).

Giải chi tiết:

Khi chia một số tự nhiên bất kì cho \(11\) thì ta nhận được tất cả \(11\) số dư: \(0,\,\,1,\,\,2,\,\,3, \ldots ,\,\,10\)

Vì có \(100\) số tự nhiên chia cho \(11\) mà có \(11\) số dư nên theo nguyên lý Dirichle thì tồn tại một nhóm chứa ít nhất \(\left[ {\frac{{100}}{{11}}} \right] + 1 = 10\) số tự nhiên chia cho \(11\) dư \(i\,\,\left( {0 \le i \le 10} \right)\).

Vậy tồn tại \(10\) số sao cho hiệu \(2\) số bất kì đều chia hết cho \(11\).