Cho ba số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận xét và đánh giá giả thiết đề bài.

Giải chi tiết:

Ta có: \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow a + b =  - c \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = {c^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} =  - 2ab\)

Tương tư: \({a^2} + {c^2} - {b^2} =  - 2ac;{b^2} + {c^2} - {a^2} =  - 2bc\)

Do đó: \(\dfrac{1}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}\\ =  - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{bc}}} \right) \\=  - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a + b + c}}{{abc}} = 0\)

Vậy \(\forall a + b + c = 0;\,\,\,abc \ne 0\) thì \(\dfrac{1}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}} = 0\).