Cho đường tròn (O)  bán kính R và một đường thẳng...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, chứng minh \(OE.OM = {R^2}\).

- Chứng minh \(\Delta OHM \sim \Delta OEF\), từ đó tính OF theo các đại lượng không đổi.

- Chứng minh OF không đổi, từ đó suy ra điểm F cố định.

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của CD,  giao điểm của AB với MO là E và giao điểm của AB với OH là F.

Vì MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \(MB \bot OB\), suy ra tam giác OBM vuông tại B.

Lại có OM là đường trung trực của AB nên \(BE \bot OM\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBM ta có: \(OE.OM = O{B^2} = {R^2}\).

Xét tam giác OHM và tam giác OEF có:

\(\angle O\) chung;

\(\angle OHM = \angle OFE = {90^0}\)  

\( \Rightarrow \Delta OHM \sim \Delta OEF\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \frac{{OH}}{{OE}} = \frac{{OM}}{{OF}} \Rightarrow OF = \frac{{OE.OM}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{OH}}\).

Do đường tròn (O) không đổi, đường thẳng (d) cho trước nên OH không đổi đổi nên OF không đổi.

Suy ra điểm F cố định.

Vậy AB luôn đi qua điểm F cố định.