Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a;\wid...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Tam giác SBC vuông cân tại S\( \Rightarrow SM \bot BC\,\,\left( 1 \right)\) (trung tuyến đồng thời là đường cao)

Tam giác SAB có: \(SA = SB = a;\widehat {ASB} = {60^0} \Rightarrow \Delta SAB\) đều \( \Rightarrow AB = SA = SB = a\)

Tương tự tam giác SAC đều \( \Rightarrow AC = SA = SC = a\)

Tam giác SBC vuông cân tại \(S \Rightarrow BC = SB\sqrt 2  = a\sqrt 2 \)

Xét tam giác ABC ta có:  \(A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại A (định lí Pi-ta-go đảo)

\( \Rightarrow AM \bot BC\,\,\left( 2 \right)\) (trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác cân)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\)

Trong (SAM) kẻ \(MH \bot SA\,\,\left( 3 \right)\) ta có:

\(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot MH\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra MH là đoạn vuông góc chung của SA và BC\( \Rightarrow d\left( {SA;BC} \right) = MH\)

Ta có: SM là trung tuyến trong tam giác vuông SBC\( \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

           AM là trung tuyến trong tam giác vuông ABC\( \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác SAM ta có: \(S{M^2} + A{M^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = {a^2} = S{A^2} \Rightarrow \Delta SAM\) vuông cân tại M

\( \Rightarrow MH\) là đường cao đồng thời là trung tuyến

\( \Rightarrow MH = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a}{2}\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Vậy \(d\left( {SA;BC} \right) = \dfrac{a}{2}\).

Chọn A.