Cho hàm số \(f\left( x \right),\,\,f\left( { - x}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx} \).

+) Lấy tích phân từ -2 đến 2 hai vế của \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \dfrac{1}{{4 + {x^2}}}\). Tính \(I\).

Giải chi tiết:

Đặt \(t =  - x \Rightarrow dx =  - dt\).

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t =  - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I =  - \int\limits_2^{ - 2} {f\left( { - t} \right)dt}  = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx} \).

Theo bài ra ta có :  \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \dfrac{1}{{4 + {x^2}}} \Leftrightarrow 2\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx}  + 3\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^2 {\dfrac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \)

\( \Leftrightarrow 3I + 2I = \int\limits_{ - 2}^2 {\dfrac{{dx}}{{4 + {x^2}}}}  \Leftrightarrow I = \dfrac{1}{5}\int\limits_{ - 2}^2 {\dfrac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \).

Đặt \(x = 2\tan u\) ta có : \(dx = 2\dfrac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = 2\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\)

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 \Rightarrow u = \dfrac{{ - \pi }}{4}\\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi }{4}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có \(I = \dfrac{1}{5}\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{2\left( {1 + {u^2}} \right)du}}{{4 + 4{{\tan }^2}u}}}  = \dfrac{1}{{10}}\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {du}  = \left. {\dfrac{1}{{10}}u} \right|_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{1}{{10}}\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{{20}}\).

Chọn A.