Tập nghiệm S của phương trình \({\log _3}\frac{1}{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức

\(\begin{array}{l}{\log _{{a^n}}}f\left( x \right) = \frac{1}{n}{\log _a}f\left( x \right)\\{\log _a}f\left( x \right) - {\log _a}g\left( x \right) = {\log _a}\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\\\left( {0 < a \ne 1;\,\,f\left( x \right) > 0;\,\,\,g\left( x \right) > 0} \right)\end{array}\)

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + 1}} > 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _3}\frac{1}{{x + 1}} + {\log _{\frac{1}{3}}}x = 2\\ \Leftrightarrow {\log _3}\frac{1}{{x + 1}} - {\log _3}x = 2\\ \Leftrightarrow {\log _3}\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = {3^2} = 9\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{9}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{6}\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{6}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{6}} \right\}\)

Chọn C.