Cho a là số nguyên dương. Biết 3 nghiệm \(x_1 <...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      CMR: Biểu thức A có giá trị không đổi: \(A = 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - x_1^2 + x_2^2 + x_3^2.\)

Ta có: Phương trình ban đầu tương đương với

\(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - a} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 + \sqrt {a + 1} \\x = 1 - \sqrt {a + 1} \end{array} \right.\)

Ta có: \( \Leftrightarrow 1 - \sqrt {a + 1}  < 1 < 1 + \sqrt {a + 1} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - \sqrt {a + 1} \\{x_2} = 1\\{x_3} = 1 + \sqrt {a + 1} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_3} = 2\\{x_1}.{x_3} = 1 - \left( {a + 1} \right) =  - a\end{array} \right.\)

(Theo định lý Viet).

Thay vào biểu thức A ta được:

\(\begin{array}{l}P = 4\left( {1 - \sqrt {a + 1}  + 1} \right) - {\left( {1 - \sqrt {a + 1} } \right)^2} + 1 + {\left( {1 + \sqrt {a + 1} } \right)^2}\\P = 8 - 4\sqrt {a + 1}  - 1 + 2\sqrt {a + 1}  - a - 1 + 1 + 1 + 2\sqrt {a + 1}  + a + 1\\P = 9\end{array}\)

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

b)     Đặt \({S_n} = x_1^n + x_2^n + x_3^n.\) CMR: S là số nguyên lẻ với mọi n tự nhiên.

Đặt:

\(\begin{array}{l}{Q_n} = x_1^n + x_3^n\\n = 0 \Rightarrow {Q_0} = 2.\\n = 1 \Rightarrow {Q_1} = {x_1} + {x_3} = 2.\\{Q_{n + 2}} = x_1^{n + 2} + x_3^{n + 2} = \left( {{x_1} + {x_3}} \right)\left( {x_1^{n + 1} + x_3^{n + 1}} \right) - {x_1}{x_3}(x_1^n + x_3^n) = 2{Q_{n + 1}} + a{Q_n}.\end{array}\)

Theo nguyên lý Quy nạp thì Q là số chẵn với mọi số tự nhiên n.

Suy ra: \({S_n} = 1 + {Q_n}\) là số lẻ.

Ta có điều phải chứng minh.