Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \(\left...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình của parabol \(\left( P \right).\) Nếu thỏa mãn phương trình thì điểm \(A \in \left( P \right)\) và ngược lại.

2) Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

+) Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0.\)

Giải chi tiết:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = 5x - m + 2\) (m là tham số).

1) Điểm \(A\left( {2;\;4} \right)\) có thuộc đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) không? Tại sao?

Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình của parabol \(\left( P \right)\) ta được: \(4 = {2^2}\) (luôn đúng).

Vậy điểm \(A\left( {2;\;4} \right)\) là một điểm thuộc parabol \(\left( P \right).\)

2) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có tung độ \({y_1},\;\;{y_2}\) thỏa mãn \({y_1} + {y_2} + {y_1}{y_2} = 25.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right)\) là:

\({x^2} = 5x - m + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + m - 2 = 0\;\;\;\left( * \right).\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2} \Leftrightarrow \Delta  > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {5^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 25 - 4m + 8 > 0\\ \Leftrightarrow 4m < 33\\ \Leftrightarrow m < \frac{{33}}{4}.\end{array}\)

Với \(m < \frac{{33}}{4}\) thì  đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\;\;{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_1};\;{y_2}} \right).\)

Vì \(A,\;\;B \in \left( d \right) \Rightarrow A\left( {{x_1};\;5{x_1} - m + 2} \right),\;\;B\left( {{x_2};\;5{x_2} - m + 2} \right).\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \({y_1} + {y_2} + {y_1}{y_2} = 25\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{x_1} - m + 2 + 5{x_2} - m + 2 + \left( {5{x_1} - m + 2} \right)\left( {5{x_2} - m + 2} \right) = 25\\ \Leftrightarrow 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m + 4 + 25{x_1}{x_2} + 5{x_1}\left( { - m + 2} \right) + 5{x_2}\left( { - m + 2} \right) + {\left( { - m + 2} \right)^2} = 25\\ \Leftrightarrow 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 25{x_1}{x_2} + \left( {10 - 5m} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m + 4 + {m^2} - 4m + 4 = 25\\ \Leftrightarrow 25{x_1}{x_2} + \left( {15 - 5m} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} - 6m - 17 = 0\\ \Leftrightarrow 25\left( {m - 2} \right) + \left( {15 - 5m} \right).5 + {m^2} - 6m - 17 = 0\\ \Leftrightarrow 25m - 50 + 75 - 25m + {m^2} - 6m - 17 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\m - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\;\;\left( {tm} \right)\\m = 4\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 2\) và \(m = 4\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn C.