1)     Rút gọn biểu thức biết a, b là thực dương:...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1)     Ta quy đồng mẫu số với mẫu số chung a – b.

2)     Chú ý rút c theo a, b thay vào biểu thức.

3)     Áp dụng hằng dẳng thức đáng nhớ về mũ 3.

Giải chi tiết:

1)     Rút gọn biểu thức biết a, b là thực dương: \(P=\frac{\sqrt{{{a}^{3}}}-\sqrt{{{b}^{3}}}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\)

\(\begin{align}  & P=\frac{\sqrt{{{a}^{3}}}-\sqrt{{{b}^{3}}}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} \\  & \ \ \ =\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}-a\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)+b\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)} \\  & \ \ \ =\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}-a\sqrt{a}+a\sqrt{b}+b\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)} \\  & \ \ \ =\frac{\sqrt{ab}\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}. \\ \end{align}\)

2)     Cho 2 số dương a, b và số c khác 0 thỏa mãn điều kiện: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

Ta có: 

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{c} = - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\\
\frac{{ab + ac + bc}}{{abc}} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c < 0\\
ab + ac + bc = 0
\end{array} \right..\)

\(\begin{align}  & \ \ \ \ \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c} \\ & \Leftrightarrow a+b=a+c+b+c+2\sqrt{(a+c)(b+c)} \\ & \Leftrightarrow c+\sqrt{ab+ac+bc+{{c}^{2}}}=0 \\ & \Leftrightarrow c+\sqrt{{{c}^{2}}}=0 \\ & \Leftrightarrow c-c=0\ \ \ \ (c<0) \\\end{align}\)

Vậy \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}.\)

3)     Cho: \(\left\{ \begin{align}& x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}} \\& y=\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}-\sqrt[3]{17-12\sqrt{2}} \\\end{align} \right.\). Tính giá trị biểu thức: \(M={{(x-y)}^{3}}+3(x-y)(xy+1)\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt[3]{{3 + 2\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{3 - 2\sqrt 2 }}\\
y = \sqrt[3]{{17 + 12\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{17 - 12\sqrt 2 }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{3 + 2\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{3 - 2\sqrt 2 }}} \right)^3}\\
{y^3} = {\left( {\sqrt[3]{{17 + 12\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{17 - 12\sqrt 2 }}} \right)^3}
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 3 + 2\sqrt 2 - 3\sqrt[3]{{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}\left( {\sqrt[3]{{3 + 2\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{3 - 2\sqrt 2 }}} \right) - 3 + 2\sqrt 2 \\
{y^3} = 17 + 12\sqrt 2 - 3\sqrt[3]{{\left( {17 + 12\sqrt 2 } \right)\left( {17 - 12\sqrt 2 } \right)}}\left( {\sqrt[3]{{17 + 12\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{17 - 12\sqrt 2 }}} \right) - 17 + 12\sqrt 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 4\sqrt 2 - 3x\\
{y^3} = 24\sqrt 2 - 3y
\end{array} \right..\\
\Rightarrow M = {\left( {x - y} \right)^3} + 3\left( {x - y} \right)\left( {xy + 1} \right)\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^3} - 3xy\left( {x - y} \right) - {y^3} + 3xy\left( {x - y} \right) + 3\left( {x - y} \right)\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^3} - {y^3} + 3\left( {x - y} \right)\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 4\sqrt 2 - 3x - 24\sqrt 2 + 3y + 3x - 3y\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = - 20\sqrt 2 .
\end{array}\)

Chọn A