Một bảng hình vuông gồm n hàng và n cột (n nguyên...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      Xây dựng 1 bảng hình vuông thỏa mãn yêu cầu với n = 4 và P = 8.

Ta có: 1 bảng thỏa mãn bài toán là

 b)     Chứng minh rằng: \(P \ge \left[ {\frac{{{n^2}}}{2}} \right];\left[ {\frac{{{n^2}}}{2}} \right]\) là phần nguyên của \(\frac{{{n^2}}}{2}\).

Không mất tính tổng quát, gọi cột hoặc hàng có ít số 1 nhất là cột 1.

Giả sử trong cột 1 này có k số 1 \(\left( {k \le n} \right)\).

Gọi hàng i là hàng loại 1 nếu \(\left( {i;1} \right) = 1\).

Gọi hàng j là hàng loại 0 nếu \(\left( {j;1} \right) = 1\).

Vậy có k hàng loại 1 và n – k hàng loại 0.

Khi đó tổng các số ở hàng loại 1 \( \ge k\) và loại 0 \( \ge n - k\).

Như vậy: \(P \ge {k^2} + {\left( {n - k} \right)^2}\). Áp dụng BĐT Cô Si ta có: \(P \ge {k^2} + {\left( {n - k} \right)^2} \ge \frac{{{{\left( {k + n - k} \right)}^2}}}{2} = \frac{{{n^2}}}{2} \ge \left[ {\frac{{{n^2}}}{2}} \right].\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.