Cho phương trình \({{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)     Để chứng minh cho phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ta chứng minh cho \({{\Delta }_{pt\left( 1 \right)}}\left( \Delta {{'}_{pt\left( 1 \right)}} \right)>0,\forall m\)

b)     Kết hợp hệ thức Viet với đầu bài để tìm m. Hệ thức Viet: \(\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\\end{align} \right.\)

Giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Xét \(\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-6m+4={{m}^{2}}+2m+1-6m+4={{\left( m-2 \right)}^{2}}+1>0,\forall m\)

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm \({{x}_{1}};x _{2}\)  thỏa mãn:

\(\left( 2m-2 \right){{x}_{1}}+x_{2}^{2}-4{{x}_{2}}=4.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Do \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

\(\begin{align} & x_{2}^{2}-2\left( m+1 \right){{x}_{2}}+6m-4=0\, \\  & \Leftrightarrow x_{2}^{2}-2m{{x}_{2}}-2{{x}_{2}}+6m-4=0 \\ & \Leftrightarrow x_{2}^{2}-4{{x}_{2}}+2{{x}_{2}}-2m{{x}_{2}}+6m-4=0 \\ & \Leftrightarrow x_{2}^{2}-4{{x}_{2}}=-2{{x}_{2}}+2m{{x}_{2}}-6m+4\,\,\,\left( 3 \right) \\ \end{align}\)

Thay (3) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}
2m{x_1} - 2{x_1} - 2{x_2} + 2m{x_2} - 6m + 4 = 4\\
\Leftrightarrow 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6m = 0\\
\Leftrightarrow 2m.2\left( {m + 1} \right) - 2.2\left( {m + 1} \right) - 6m = 0\\
\Leftrightarrow 4{m^2} + 4m - 4m - 4 - 6m = 0\\
\Leftrightarrow 2{m^2} - 3m - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy  \(m=2;m=-\frac{1}{2}\)  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A