Giải phương trình: \(\left( {\sqrt {x + 9}  - 3} \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ a , b với \(a = \sqrt {x + 9} ,b = \sqrt {9 - x} .\)

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \( - 9 \le x \le 9\).

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {x + 9} \;\;\left( {a \ge 0} \right)\\b = \sqrt {9 - x} \;\;\left( {b \ge 0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = x + 9\\{b^2} = 9 - x\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 18 \Leftrightarrow {b^2} = 18 - {a^2}.\;\;\;\;\left( 1 \right)\\\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {b + 3} \right) = 2\left( {{a^2} - 9} \right)\;\;\;\;\\ \Leftrightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {b + 3} \right) = 2\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {b + 3 - 2a - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {b - 2a - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 3 = 0\\b - 2a - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2a + 3\end{array} \right..\end{array}\)

+) Với \(a = 3 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {b^2} = 18 - 9 = 9 \Rightarrow b = 3\;\;\left( {do\;\;b \ge 0} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 9 = {a^2} = 9\\9 - x = {b^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\;\;\;\left( {tm} \right).\)

+) Với \(b = 2a + 3 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {2a + 3} \right)^2} = 18 - {a^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{a^2} + 12a + 9 = 18 - {a^2}\\ \Leftrightarrow 5{a^2} + 12a - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + 3} \right)\left( {5a - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 3 = 0\\5a - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\;\;\left( {ktm} \right)\\a = \frac{3}{5}\;\;\left( {tm} \right) \Rightarrow b = 2a + 3 = 2.\frac{3}{5} + 3 = \frac{{21}}{5}\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 9 = {a^2} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\\9 - x = {b^2} = {\left( {\frac{{21}}{5}} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - \frac{{216}}{{25}}\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \(S = \left\{ { - \frac{{216}}{{25}};\;0} \right\}.\) 

Chọn C.