a) Giải phương trình: \(4\sqrt {x + 3}  = 1 + 4x +...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Đặt điều kiện sau đó giải phương trình chứa căn thức.

b) Biến đổi từng phương trình của hệ để giải hệ phương trình.

Giải chi tiết:

a) Giải phương trình: \(4\sqrt {x + 3}  = 1 + 4x + \frac{2}{x}.\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 3\\x \ne 0\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;4\sqrt {x + 3}  = 1 + 4x + \frac{2}{x}\\ \Leftrightarrow 4x\sqrt {x + 3}  = x + 4{x^2} + 2\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x\sqrt {x + 3}  + x + 3 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - \sqrt {x + 3} } \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \sqrt {x + 3}  = 1\\2x - \sqrt {x + 3}  =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 3}  = 2x - 1\\\sqrt {x + 3}  = 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\x + 3 = 1 - 4x + 4{x^2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\x + 3 = 1 + 4x + 4{x^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\4{x^2} - 5x - 2 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{1}{2}\\4{x^2} + 3x - 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {57} }}{8}\;\;\left( {tm} \right)\\x = \frac{{5 - \sqrt {57} }}{8}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{8}\;\;\left( {tm} \right)\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{8}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right..\end{array}\)

Đối chiếu với điều kiện ta có hệ phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{{5 + \sqrt {57} }}{8};\;\;\frac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{8}} \right\}.\)

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^3} = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^5} = {x^3} + {y^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Lấy phương trình \(\left( 2 \right)\) trừ đi phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{y^5} - {y^3} = {x^3} + {y^2} - 1\\ \Leftrightarrow {y^3}\left( {{y^2} - 1} \right) - \left( {{y^2} - 1} \right) = {x^3}\\ \Leftrightarrow \left( {{y^2} - 1} \right)\left( {{y^3} - 1} \right) = {x^3}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {y^3}} \right) = {x^3}\;\;\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Mà từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow {x^2} = 1 - {y^3}.\)

Kết hợp \(\left( 1 \right)\) và \(\left( * \right)\) ta được:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1 - {y^3}\\x = 1 - {y^2}\end{array} \right.\;.\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {1 - {y^2}} \right)^2} = 1 - {y^3}\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - y} \right)^2}{\left( {1 + y} \right)^2} = \left( {1 - y} \right)\left( {1 + y + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 - y} \right)\left[ {{{\left( {1 + y} \right)}^2}\left( {1 - y} \right) - 1 - y - {y^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - y} \right)\left( {1 + y - {y^2} - {y^3} - 1 - y - {y^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - y} \right)\left( { - 2{y^2} - {y^3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - y} \right).{y^2}\left( { - 2 - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = 0\\y =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y =  - 2\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right..\end{array}\)

 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\left( { - 2; - 3} \right);\;\left( {0;\;1} \right),\;\;\left( {1;\;0} \right)} \right\}.\)