Từ điểm S nằm ngoài (O; R), vẽ hai  tiếp tuyến SA,...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh đây là tứ giác có 2 góc đối vuông, từ đó sử dụng tam giác đồng dạng suy ra hệ thức.

b) Chứng minh OICH là tứ giác nội tiếp, tam giác OCD cân.

c) Gọi P là giao điểm SI và AP, chứng minh rằng  \(\angle ICA = \angle CBI.\)

Giải chi tiết:

a) Chứng minh: SAOB là tứ giác nội tiếp và: \(S{A^2} = SD.SC.\)

Ta có \(SA,\,\,SB\) là hai tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right)\) tại \(A,\,B\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle SAO = \angle SBO = {90^0}\\ \Rightarrow \angle SAO + \angle SBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow SAOB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Ta có: \(\angle SAC = \angle ADS\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

Xét \(\Delta SAC\) và \(\Delta SDA\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle S\,\,\,chung\\\angle SAC = \angle SDA\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta SAC \sim \Delta SDA\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{SA}}{{SD}} = \frac{{SC}}{{SA}} \Leftrightarrow S{A^2} = SD.SC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Gọi H là giao điểm AB và OS. Chứng minh rằng: \(\angle DCO = \angle SHC.\)

Ta có: \(OC = OD = R \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại \(O \Rightarrow \angle CDO = \angle DCO\) (hai góc kề đáy).

Có \(SA = SB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và \(OA = OB = R \Rightarrow SO\) là đường trung trực của \(AB \Rightarrow SO \bot AB = \left\{ H \right\}.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta SAO\) có đường cao \(AH\) là có: \(S{A^2} = SH.SO\)

\( \Rightarrow SD.SC = SH.SO\,\,\left( { = S{A^2}} \right) \Rightarrow \frac{{SD}}{{SH}} = \frac{{SO}}{{SC}}\)

Xét \(\Delta SOD\) và \(\Delta SCH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{SD}}{{SH}} = \frac{{SO}}{{SC}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle S\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta SOD \sim \Delta SCH\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle SHC = \angle DCO\) (hai góc tương ứng).

c) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: \(\Delta IAC \sim \Delta ICB.\)

Gọi \(SI \cap AB = \left\{ P \right\}.\)

Ta có \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow OI \bot CD\) (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \angle OIC = \angle OHA\,\,\,\left( { = {{90}^0}} \right) \Rightarrow \angle OIC + \angle OHA\, = {180^0}\)

\( \Rightarrow OHPI\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Xét \(\Delta SPH\) và \(\Delta SOI\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle S\,\,chung\\\angle SHP = \angle SIO = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta SPH \sim \Delta SOI\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{SP}}{{SO}} = \frac{{SH}}{{SI}} \Leftrightarrow SP.SI = SH.SO = S{A^2} \Rightarrow \frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SA}}{{SO}}\end{array}\)

Xét \(\Delta SAP\)  và \(\Delta SIA\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle S\,\,chung\\\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SA}}{{SO}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta SPH \sim \Delta SOI\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle SAB = \angle AIC = \angle CIB\)  (các góc tương ứng).

Ta có:\(\angle CAI = \angle SAI - \angle SAC = \angle SPA - \angle SAC = \frac{1}{2}\,\,cung\,DB = \angle DCB.\)

Xét \(\Delta IAC\) và \(\Delta ICB\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle AIC = \angle CIB\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ICB = \angle CAI\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta IAC \sim \Delta ICB\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)