Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\) và \(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\) tính \(f'\left( x \right)\). Từ đó giải bất phương trình.

Giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( x \right) = 1 + \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Theo bài ra ta có \(2x.f'\left( x \right) - f\left( x \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x\left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) - x - \sqrt {{x^2} + 1}  \ge 0\\ \Leftrightarrow 2x + \dfrac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - x - \sqrt {{x^2} + 1}  \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x\sqrt {{x^2} + 1}  + 2{x^2} - x\sqrt {{x^2} + 1}  - {x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 0\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^2} - 1 + x\sqrt {{x^2} + 1}  \ge 0\end{array}\)

Thử các đáp án:

Với \(x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow g\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) thuộc tập nghiệm của BPT \( \Rightarrow \) Loại đáp án A, B và C.

Chọn D.