a) Cho \(x \ne 1,\)  rút gọn biểu thức: \(A = \fra...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hẳng đẳng thức: \({a^3} - {b^3}\) để quy đồng mẫu số.

b) Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn x, từ đó xét delta và tìm ra GTLN của y.

c) Cộng vế theo vế có \(a + b + c = 0.\)

Giải chi tiết:

a) Cho \(x \ne 1,\)  rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{5x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{1 - x}}.\)

Điều kiện: \(x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{5x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{1 - x}} = \frac{{5x + 1}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}\\ = \frac{{5x + 1 + (2x - 1)(x - 1) + 2({x^2} + x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{{4({x^2} + x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{4}{{x - 1}}.\end{array}\)

b) Tìm các số thực x, y với y lớn nhất thỏa mãn: \({x^2} + 5{y^2} + 2y - 4xy - 3 = 0.\)

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn \(x\) với \(y\) là tham số ta có ngay:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 5{y^2} + 2y - 4xy - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4yx + 5{y^2} + 2y - 3 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có nghiệm  \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow  - {y^2} - 2y + 3 \ge 0 \Leftrightarrow  - 3 \le y \le 1.\)

Vì \(y\) lớn nhất nên \(y = 1.\)

\( \Rightarrow pt \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)

Vậy cặp số \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {2;\,1} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a = {b^2}\\{b^2} + b = {c^2}\\{c^2} + c = {a^2}\end{array} \right..\) Chứng minh rằng: \(\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = 1.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a = {b^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{b^2} + b = {c^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{c^2} + c = {a^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của 3 phương trình của  hệ ta được:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow a + b + c = 0.\)

Lấy (1) + (2) ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + a + {b^2} + b = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow a + b = {c^2} - {a^2} = (c - a)(c + a)\\ \Leftrightarrow  - c = (c - a)( - b).\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - b = ( - a)(b - c)\\ - a = ( - c)(a - b)\end{array} \right.\\ \Rightarrow ( - a)( - b)( - c) = ( - a)( - b)( - c)(a - b)(b - c)(c - a)\\ \Rightarrow (a - b)(b - c)(c - a) = 1.\end{array}\)

Vậy \(\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = 1.\)

Chọn A.