Cho ba số \(x,y,z\) không âm và \({x^2} + {y^2} +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ dữ hiện đề bài kết hợp bất đẳng thức Cô-si chứng minh \(2x + y + 2z \le 6\).

Chứng minh bổ đề với hai số \(a,b\) không âm ta chứng minh \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{8}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\). Từ đó áp dụng vào \(P\) để tìm.

Giải chi tiết:

Cho ba số x, y, z không âm và \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le 3y\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{4}{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}}\).

Ta có ba số \(x,\;y,\;z\)  không âm, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4} \right) + \left( {{z^2} + 1} \right) \ge 2x + 4y + 2z\\ \Rightarrow 3y + 6 \ge 2x + 4y + 2z\;\;\;\left( {do\;\;{x^2} + {y^2} + {z^2} \le 3y} \right)\\ \Rightarrow 6 \ge 2x + y + 2z.\end{array}\)

*) Với hai số \(a,\;b\) không âm ta chứng minh \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{8}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2ab \Rightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \ge ab \Rightarrow \frac{1}{{ab}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \Rightarrow \frac{2}{{ab}} \ge \frac{8}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta cũng có: \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}}.\frac{1}{{{b^2}}}}  = \frac{2}{{ab}}\)  (\(a,b > 0\))

\( \Rightarrow \) Với hai số \(a,b\) không âm ta có  \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{8}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\)

Áp dụng bổ đề trên ta được:

\(\begin{array}{l}P = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{4}{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{y}{2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}}\\ \ge \frac{8}{{{{\left( {x + 1 + \frac{y}{2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}} \ge \frac{{64.4}}{{{{\left( {2x + y + 2z + 10} \right)}^2}}} \ge \frac{{256}}{{{{\left( {6 + 10} \right)}^2}}} = 1.\end{array}\)

 Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = y + 2 = z + 3\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\,\\y = 2\,\\z = 1\end{array} \right..\)

Vậy \(\min P = 1\) đạt được khi \(x = 1\,\,;\,\,y = 2\,\,;\,\,z = 1.\)

Chọn C.