Cho \(0 < x < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của M

Giải chi tiết:

Ta có: \(M = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{4}{x} = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{4 - 4x + 4x}}{x} = \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4\)

Vì \(0 < x < 1 \Rightarrow 1 - x > 0 \Rightarrow \) \(\frac{x}{{1 - x}} > 0\) và \(\frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\frac{x}{{1 - x}}\) và \(\frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}\) ta có:

 \(\begin{array}{l}\frac{x}{{1 - x}} + \frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} \ge 2\sqrt {\frac{x}{{1 - x}}.\frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}}  = 4\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{1 - x}} + \frac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4 \ge 8 \Leftrightarrow M \ge 8\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{x}{{1 - x}} = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 4{\left( {x - 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2x - 2\\x =  - 2x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\left( {ktm} \right)\\x = \frac{2}{3}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8 đặt được khi \(x = \frac{2}{3}.\)