a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

+) Lập bảng giá trị các điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) sau đó vẽ đồ thị hàm số.

+) Giải phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) để tìm giao điểm theo yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết:

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 4\\2x - y = 5\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 4\\2x - y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right..\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {1; - 3} \right).\)

b) Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d:\;y = x - 2m.\) Vẽ đồ thị \(\left( P \right).\) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \( - 1.\)

Ta có bảng giá trị:

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2;2} \right);\,\,\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right);\,\,\left( {0;0} \right);\,\,\left( {1;\frac{1}{2}} \right);\,\,\left( {2;2} \right)\)

Đồ thị:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và parabol \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình \(\frac{1}{2}{x^2} = x - 2m \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} - x + 2m = 0.\;\;\;\left( 1 \right)\)  

Để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \( - 1 \Leftrightarrow x =  - 1\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 2m = 0\\ \Leftrightarrow 2m =  - \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{4}.\end{array}\)  

Vậy \(m =  - \frac{3}{4}.\)