1) Cho biểu thức \(M=\frac{{{\left( a+b \right)}^{...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1) Cho biểu thức \(M=\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{3}}+a{{b}^{2}}-{{a}^{2}}b-{{b}^{3}}}\) với a, b là hai số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên.

\(M=\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{3}}+a{{b}^{2}}-{{a}^{2}}b-{{b}^{3}}}=\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}\left( a-b \right)+{{b}^{2}}\left( a-b \right)}=\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}\)

Giả sử \(M\in Z\), khi đó ta có \({{\left( a+b \right)}^{2}}\) chia hết cho \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) (Vì a, b là các số nguyên)

\(\Rightarrow \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab \right)\,\,\vdots \,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\Rightarrow 2ab\,\,\vdots \,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\)

Ta có \(0<2ab={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{\left( a-b \right)}^{2}}<{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) , do đó \(2ab\) không thể chia hết cho \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)

Do đó giả sử ban đầu sai. Vậy M không là số nguyên.

2) Cho a, b là hai số nguyên dương, đặt : \(A={{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{a}^{2}},\,\,B={{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}\)

Chứng minh rằng A, B không đồng thời là số chính phương.

Giả sử tồn tại các số nguyên dương a, b sao cho \({{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{a}^{2}}\) và \({{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}\) đều là số chính phương. Trong các cặp số nguyên dương \(\left( a;\ b \right)\) như vậy, đương nhiên tồn tại một cặp số \(\left( a;\ b \right)\) sao cho a là nhỏ nhất.

Ta xét cặp \(\left( a;\ b \right)\)  sao cho a nhỏ nhất. Đặt \(\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{a}^{2}} \\  & {{y}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{b}^{2}} \\ \end{align} \right.\,\,\left( x;y\in N \right)\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-{{x}^{2}}=2{{a}^{2}}.\)

Ta có \(2{{a}^{2}}\) là số chẵn \(\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\) và \({{x}^{2}}\) cùng tính chẵn lẻ.

TH1 : \({{\left( a+b \right)}^{2}}\) và \({{x}^{2}}\) cùng chẵn.

Đặt  \({{\left( a+b \right)}^{2}}={{\left( 2m \right)}^{2}}=4{{m}^{2}};\,\,{{x}^{2}}={{\left( 2n \right)}^{2}}=4{{n}^{2}}\,\,\left( m,n\in Z \right)\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-{{x}^{2}}=4\left( {{m}^{2}}-{{n}^{2}} \right)\) chia hết cho 4.

TH2 : \({{\left( a+b \right)}^{2}}\) và \({{x}^{2}}\) cùng lẻ.

Đặt  \({{\left( a+b \right)}^{2}}={{\left( 2k+1 \right)}^{2}}=4{{k}^{2}}+4k+1;\,\,{{x}^{2}}={{\left( 2l+1 \right)}^{2}}=4{{l}^{2}}+4l+1\,\,\left( k,l\in Z \right)\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-{{x}^{2}}=4\left( {{k}^{2}}+k-{{l}^{2}}-l \right)\) chia hết cho 4.

Do đó \({{\left( a+b \right)}^{2}}-{{x}^{2}}\)  luôn chia hết cho 4 \(\Rightarrow 2{{a}^{2}}\,\,\vdots \,\,4\Rightarrow {{a}^{2}}\,\,\vdots \,\,2\Rightarrow a\,\,\vdots \,\,2\)

Chứng minh tương tự ta có b chia hết cho 2.

\(\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\,\,\vdots \,\,2\Rightarrow {{x}^{2}}\,\,\vdots \,\,2\Rightarrow x\,\,\vdots \,\,2\), tương tự \(y\,\,\vdots \,\,2\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2{a^2}\\
{y^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2{b^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{a}{2} + \frac{b}{2}} \right)^2} - 2{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}\\
{\left( {\frac{a}{2} + \frac{b}{2}} \right)^2} - 2{\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{y}{2}} \right)^2}
\end{array} \right.\)đều là số chính phương, do đó cặp số \(\left( \frac{a}{2};\frac{b}{2} \right)\) cũng thỏa mãn yêu cầu bài toán và \(\frac{a}{2}<a\,\,\left( Do\,\,a\in N \right)\).

Mâu thuẫn với giả sử a là số nhỏ nhất sao cho cặp số (a;b) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy với mọi a, b nguyên dương, các số A, B không thể đồng thời là số chính phương.