Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \({{4}^...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cô lập \(m\) đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right)=m\). Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y=m\). Lập bảng biến thiên của hàm số \(y=f\left( x \right)\) rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có \({{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+m=0\)\(\Leftrightarrow {{4.4}^{x}}-{{4.2}^{x}}+m=0\Leftrightarrow -{{4.4}^{x}}+{{4.2}^{x}}=m\). Đặt \({{2}^{x}}=t\left( t>0 \right)\) ta được phương trình \(-4.{{t}^{2}}+4t=m\,\left( 1 \right)\). Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của độ thị hàm số \(f\left( t \right)=-4{{t}^{2}}+4t,\,\left( t>0 \right)\) và đường thẳng \(y=m\).

Xét hàm \(f\left( t \right)=-4{{t}^{2}}+4t,\,\left( t>0 \right)\) có \({f}'\left( t \right)=-8t+4=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)(nhận).

Bảng biến thiên của \(f\left( t \right)\) với \(t>0\).

Từ bảng biến thiên, để phương trình  đã cho có nghiệm thì \(m\le 1\).

Chọn A.