Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: \({\le...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Biến đổi giả thiết ta có ngay:

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + \frac{2}{{ab}} + \frac{2}{{ac}} + \frac{2}{{bc}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ac}} + \frac{1}{{bc}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{a + b + c}}{{ab + ac + bc}} = 0\\ \Leftrightarrow a + b + c = 0\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = {(a + b)^3} + {c^3} - 3ab(a + b) - 3abc\\ = (a + b + c)({(a + b)^2} + c(a + b) + {c^2}) - 3ab(a + b + c)\\ = (a + b + c)({(a + b)^2} + c(a + b) + {c^2} - 3ab)\\ = 0.\end{array}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh