Cho tam giác ABC. Goi O là giao điểm các đường phâ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng tính chất 3 đường phân giác trong tam giác.

+) Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau.

Giải chi tiết:

a)     Do OD, OE, OF lần lượt vuông góc với BC, AC, AB nên các tam giác AOE, AOF, BOF, BOD, COE, COD là các tam giác vuông.

O là giao điểm các đường phân giác nên suy ra OD = OE = OF.

Xét hai tam giác vuông AOE và AOF ta có:

AO là cạnh chung;     

OE = OF

Vậy \(\Delta AOE\text{ = }\Delta AOF\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra AE =AF (2 cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có: BD = BF, CD = CE.

b)     Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Ta có:

AE = AC – CE = AC – CD

AF = AB – BF = AB – BD

Suy ra AE + AF = AC – CD + AB – BD = AB + AC – (BD + CD)

Hay 2.AE = AB + AC –  BC = c + b – a.

Do đó \(AE=\frac{c+b-a}{2}\)

Ta có \(E{{A}_{1}}=EA+\text{A}{{\text{A}}_{1}}=EA+BC=\frac{c+b-a}{2}+a=\frac{c+b+a}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có:  \(F{{B}_{1}}=\frac{c+b+a}{2};\,\,D{{C}_{1}}=\frac{c+b+a}{2}\)  

Vậy \(E{{A}_{1}}=F{{B}_{1}}=D{{C}_{1}}.\)

c)     +) Xét hai tam giác vuông OEA₁ và OFB₁ ta có:

\(\begin{align} & OE=OF \\  & E{{A}_{1}}=F{{B}_{1}} \\ \end{align}\)

Vậy \(\Delta OE{{A}_{1}}\text{= }\Delta OF{{B}_{1}}\) (2 cạnh góc vuông bằng nhau)

Suy ra \(O{{A}_{1}}=O{{B}_{1}}\) (1)

+) Xét hai tam giác vuông OFB₁ và ODC₁ ta có:

\(\begin{align} & OD=OF \\  & F{{B}_{1}}=D{{C}_{1}} \\ \end{align}\)

Vậy \(\Delta OF{{B}_{1}}\text{= }\Delta OD{{C}_{1}}\) (2 cạnh góc vuông bằng nhau)

Suy ra \(O{{B}_{1}}=O{{C}_{1}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O{{A}_{1}}=O{{B}_{1}}=O{{C}_{1}}\). Đẳng thức này chứng tỏ O là giao điểm các đường trung trực của tam giác A₁B₁C₁.