a) Tìm các số nguyên tố p sao cho 13p + 1 là lập p...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) \(13p + 1 = {a^3}\,\,\,\left( {a \in N;a \ge 3} \right) \Rightarrow 13p = {a^3} - 1 \Leftrightarrow 13p = \left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)\)

b) Phân tích, chuyển số hạng tự do sang 1 vế. Đưa vế kia về dạng tích trong đó có 1 nhân tử là x + 3y.

Giải chi tiết:

a) Giả sử:

\(13p + 1 = {a^3}\,\,\,\left( {a \in N;a \ge 3} \right) \Rightarrow 13p = {a^3} - 1 \Leftrightarrow 13p = \left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)\)

Do 13 và p đều là các số nguyên tố nên không có cách phân tích nào để 2 số này bằng tích của 2 số tự nhiên khác 1.

Do vậy phương trình trên xảy ra khi và chỉ khi thuộc 1 trong 2 trường hợp sau:

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 13\\{a^2} + a + 1 = p\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\p = {14^2} + 14 + 1 = 211\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = p\\{a^2} + a + 1 = 13\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\p = 3 - 1 = 2\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Kiểm tra lại thì cả 2 trường hợp này đều thỏa mãn.

Vậy giá trị cần tìm là: p = 2; p = 211.

b) Phương trình đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} - 6{\left( {y - 1} \right)^2} + xy = 24\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - 6\left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + xy = 24\\ \Leftrightarrow {x^2} - 6{y^2} + xy + 4x + 12y - 26 = 0.\\ \Leftrightarrow 4\left( {x + 3y} \right) + \left( {{x^2} - 6{y^2} + xy} \right) = 26\\ \Leftrightarrow 4\left( {x + 3y} \right) + \left( {x + 3y} \right)\left( {x - 2y} \right) = 26\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3y} \right)\left( {x - 2y + 4} \right) = 26.\end{array}\)

Do đây là phương trình nghiệm nguyên dương nên ta có các trường hợp sau:

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 2\\x - 2y + 4 = 13\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 13\\x - 2y + 4 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\x - 2y + 4 = 26\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 26\\x - 2y + 4 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right..\)

Vậy nghiệm nguyên của phương trình la \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;3} \right)\).