Cho hàm số\(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{\text{x}}^{2...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả hàm số \(y=f\left( x \right)\)nghịch biến trên tập \(D,\) khi \(y'=f'\left( x \right)\le 0,\,\,\forall x\in D.\)

Giải chi tiết:

Ta có \(y'={{x}^{2}}+4x-\left( m+1 \right).\) Do hàm số nghịch biến trên \(\left[ -1,1 \right]\) nên ta phải có \(y'\le 0,\,\,\forall x\in \left[ -1,1 \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-\left( m+1 \right)\le 0,\,\,\forall x\in \left[ -1,1 \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-1\le m,\,\,\forall x\in \left[ -1,1 \right].\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+4x-1\) trên \(\left[ -1,1 \right].\) Ta có \(f'\left( x \right)=2x+4=2\left( x+1 \right)+2\ge 2>0,\,\,\forall x\in \left[ -1,1 \right].\) Do đó \(f\) đồng biến trên \(\left[ -1,1 \right].\) Vì vậy \(f\left( x \right)\le f\left( 1 \right)=4.\) Như vậy để \({{x}^{2}}+4x-1\le m,\,\forall x\in \left[ -1,1 \right]\) thì \(m\ge f\left( 1 \right)=4.\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(m\) là \(4.\)

Chọn đáp án B.