Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm hình chiếu H của A lên đường thẳng d Khoảng cách từ A đến d bằng: AH

Giải chi tiết:

Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta có: \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3 + t\end{array} \right.\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên D.

\(H \in d \Rightarrow H(1 + 2t;2 + 3t;3 + t)\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( {2t;2 + 3t;t} \right)\\\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;3;1} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\ \Leftrightarrow 2.2t + 3.(2 + 3t) + t = 0 \Leftrightarrow 14t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  -\frac{3}{7} \Rightarrow H\left( {\frac{1}{7};\frac{5}{7};\frac{{18}}{7}} \right)\end{array}\)

Khoảng cách từ A đến d bằng AH

Có \(\overrightarrow {AH}  = \left( { - \frac{6}{7};\frac{5}{7}; - \frac{3}{7}} \right)\). Suy ra  \(AH = \sqrt {{{\left( { - \frac{6}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{3}{7}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {70} }}{7}\)

Chọn A