Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;4) và...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tọa độ hóa điểm C bằng cách gọi C(a; b).

- Tam giác ABC vuông cân tại B \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  BA \bot BC \hfill \cr   BA = BC \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0 \hfill \cr   \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \hfill \cr}  \right.\)

- Sử dụng các công thức tích vô hướng của 2 vector, công thức tính độ dài vector \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}.} \)

Giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông cân tại B \( \Rightarrow \left\{ \matrix{  BA \bot BC \hfill \cr   BA = BC \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0 \hfill \cr   {\left| {\overrightarrow {BA} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {BC} } \right|^2} \hfill \cr}  \right.\)

Gọi tọa độ C(a; b) ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {2 - 1;4 - 1} \right) = \left( {1;3} \right)\,;\,\overrightarrow {BC}  = \left( {a - 1;b - 1} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{  \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 1.\left( {a - 1} \right) + 3.\left( {b - 1} \right) = 0 \hfill \cr   {1^2} + {3^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a + 3b = 4 \hfill \cr   {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} = 10 \hfill \cr}  \right.\)

Thay a = 4 – 3b vào phương trình dưới ta được \(\eqalign{  & {\left( {4 - 3b - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow {\left( {3 - 3b} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10  \cr   &  \Leftrightarrow 9{\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} = 1 \cr} \)

Giải ra ta được hoặc b = 0 hoặc b = 2.

Với b = 2 Þ a = – 2 \( \Rightarrow C\left( { - 2;2} \right).\)

Với b = 0 \( \Rightarrow a = 4 \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\).

Chọn D.