Tính tích phân \(\int\limits_{1}^{5}{\frac{dx}{x\s...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t=\sqrt{3x+1}\)

Giải chi tiết:

Đặt \(t=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=3x+1\Leftrightarrow 2tdt=3dx\Leftrightarrow dx=\frac{2tdt}{3}\) và \(x=\frac{{{t}^{2}}-1}{3}\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = 5 \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\), khi đó ta có

\(\begin{array}{l}I = \frac{2}{3}\int\limits_2^4 {\frac{{tdt}}{{\frac{{{t^2} - 1}}{3}.t}}}  = 2\int\limits_2^4 {\frac{{dt}}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right)}}}  = \frac{2}{2}\int\limits_2^4 {\left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt} \\\,\,\, = \left. {\ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|} \right|_2^4 = \ln \frac{3}{5} - \ln \frac{1}{3} = \ln 3 - \ln 5 + \ln 3 = 2\ln 3 - \ln 5\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + ab + 3{b^2} = 4 - 2 + 3 = 5\end{array}\)  

Chọn D.