Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Đặt:  AK = x \(\left( 0<x<12{{;}^{{}}}cm \right)\)

\(\Rightarrow HK=AH-AK=12-x\)  (m)

Tứ giác MKHQ  là hình chữ nhật (vì có \(\overset{\hat{\ }}{\mathop{M}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{Q}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{H}}\,={{90}^{0}}\))\(\Rightarrow MQ=HK=12-x\) (m) Xét tam giác AHC ta có KN // HC (MNPQ là hình chữ nhật, \(K\in MN{{;}^{{}}}P,Q\in BC\))

Theo định lý Ta-let ta có: \(\frac{AK}{AH}=\frac{AN}{AC}\)   (1)

Xét tam giác ABC có MN // BC, áp dụng định lý Ta-let ta có: \(\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}\)    (2) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AH}=\frac{AM}{AB}\) Thế số, ta được: \(\frac{MN}{16}=\frac{x}{12}\Leftrightarrow MN=\frac{16.x}{12}=\frac{4x}{3}\) Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: \({{S}_{MNPQ}}=MQ.MN=\left( 12-x \right).\frac{4x}{3}=-\frac{4}{3}{{x}^{2}}+16x\)   (cm²) Theo đề bài\({{S}_{MNPQ}}={{36}^{{}}}c{{m}^{2}}\) nên ta có phương trình:

    \(\begin{array}{l} - \frac{4}{3}{x^2} + 16x = 36\\ \Leftrightarrow  - 4{x^2} + 48x = 108\\ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 27 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 9x - 3x + 27 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 9} \right) - 3\left( {x - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 9} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 9 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left[ \begin{array}{l}x = 9\\x = 3\end{array} \right.^{}}^{}\left( {t/m} \right)\end{array}\) Vậy độ dài của đoạn AK bằng 3cm hoặc 9cm.

Với AK = 3cm\(\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AH}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow AM=\frac{1}{4}AB\) Với AK = 9cm \(\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AH}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow AM=\frac{3}{4}AB\)

Vậy điểm M nằm trên đoạn AB sao cho \(AM=\frac{1}{4}AB\) hoặc \(AM=\frac{3}{4}AB\) thì diện tích hình chữ nhật MNPQ bằng 36cm²