Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si từ trung bình cộng sang trung bình nhân lần lượt cho các bộ số \(\left( x;\frac{1}{2x} \right),\left( y;\frac{1}{2y} \right),\left( \frac{1}{x};\frac{1}{y} \right),\left( \frac{x}{y};\frac{y}{x} \right)\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Viết lại

\(\begin{align}  & P=\left( 1+x \right)\left( 1+\frac{1}{y} \right)+\left( 1+y \right)\left( 1+\frac{1}{x} \right)=1+x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+1+y+\frac{1}{x}+\frac{y}{x} \\  & \,\,\,\,=2+\left( x+\frac{1}{2x} \right)+\left( y+\frac{1}{2y} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)+\left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right). \\ \end{align}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si lần lượt cho các bộ số \(\left( x;\frac{1}{2x} \right),\left( y;\frac{1}{2y} \right),\left( \frac{1}{x};\frac{1}{y} \right),\left( \frac{x}{y};\frac{y}{x} \right)\) ta nhận được

\(P\,=2+\left( x+\frac{1}{2x} \right)+\left( y+\frac{1}{2y} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)+\left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right)\ge 2+2\sqrt{x.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{2y}}+\frac{1}{2}.2.\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}+2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=4+2\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{xy}}.\)

Ta lại có \(1={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy\Leftrightarrow \frac{1}{xy}\ge 2\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{xy}}\ge \sqrt{2}.\)

Do đó \(P\ge 4+3\sqrt{2}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align}  & x=\frac{1}{2x} \\  & y=\frac{1}{2y} \\  & \frac{1}{x}=\frac{1}{y} \\  & \frac{x}{y}=\frac{y}{x} \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}.\)

Chọn đáp án A.