a)     Cho biểu thức \(A=...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương  pháp:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức nếu đề bài chưa cho.

Bước 2:  Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức).

+) Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung,

+) Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác hay không.

Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.

Bước 4: Đánh giá biểu thức dựa vào điều kiện xác định, tìm GTLN của biểu thức A.

+) Xác định giá trị của x để biểu thức đạt dấu =.

+) Kết hợp với ĐKXĐ để kết luận.

Giải chi tiết:

Giải:

a)      Với \(\text{x}\ge \text{0; x}\ne 1\), ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 1) - (\sqrt x + 2)(\sqrt x - 1)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\frac{{{{(\sqrt x - 1)}^2}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{x - \sqrt x - 2 - (x + \sqrt x - 2)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{(\sqrt x - 1)}^2}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - x + \sqrt x }}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}.\end{array}\)

 Ta có: \(A=\frac{-8x+8\sqrt{x}}{8{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}}=\frac{{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}-9x+6\sqrt{x}-1}{8{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}}=\frac{1}{8}-\frac{{{(3\sqrt{x}-1)}^{2}}}{8{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}}\le \frac{1}{8}\).

Dấu “=”xảy ra\(\Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)

Vậy GTLN của A bằng \(\frac{1}{8}\)(tại  \(x=\frac{1}{9}\))

Cách khác: A = \(\frac{-{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}+3(\sqrt{x}+1)-2}{{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}}=-2{{y}^{2}}+3y-1\), với y = \(\frac{1}{\sqrt{x}+1}>0\))

\(\Rightarrow A=-2\left( {{y}^{2}}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}-\frac{9}{16} \right)-1=-2{{\left( y-\frac{3}{4} \right)}^{2}}+\frac{1}{8}\le \frac{1}{8}\).

Dấu “=”xảy ra\(\Leftrightarrow y =\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{9}\)…

b) Số viên gạch trong mỗi hàng là \(\sqrt{441}\)= 21 (viên)

Trên mỗi đường chéo của nền nhà hình vuông đó có 21 viên.

Vì viên gạch tại tâm hình vuông nền nhà nằm trên cả 2 đường chéo (do 21 là số lẻ) nên số viên gạch men trắng là 21. 2 – 1 = 41 (viên)

Số viên gạch men xanh là: 441 – 41 = 400 (viên)