Cho phương trình: \({x^2} + 2\lef...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\). (\(\Delta  > 0)).

- Ta biến đổi biểu thức \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} = 15\) về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của m.

- Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

Xét phương trình:\({x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + 6m + 1 = 0\)  có:

\(\Delta  = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 2m + 1 - 4m + 12 = {m^2} - 6m + 13 = {\left( {m - 3} \right)^2} + 4 > 0,\forall m\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0\) luôn đúng với  \(\forall m\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m + 2} \right)  \cr {x_1}{x_2} = 6m + 1\cr}  \right.\) (1)

Ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} = 15 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 15\) (2).

Từ (1) và (2) ta có:

\(\eqalign{ & 4{\left( {m + 2} \right)^2} - 3\left( {6m + 1} \right) = 15  \cr &  \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 4m + 4} \right) - 18m - 3 = 15  \cr &  \Leftrightarrow 4{m^2} - 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{m = 1  \cr m = {{ - 1} \over 2}  \cr}  \right. \cr} \)

Vậy với m = 1 hoặc \(m = {{ - 1} \over 2}\) thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

Chọn D.