Tìm m để đường thẳng \(d:y = 2\left( {m + 1} \righ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Xét hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol.

+) Áp dụng hệ thức Vi-et vào biến đổi biểu thức.

+) Giải phương trình.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: \({x^2} - 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0(1)\)

Có  \(\Delta ' = {(m + 1)^2} - 2m - 3 = {m^2} - 2\)

Để (d) và (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \sqrt 2 \\m <  - \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Gọi \(A\left( {{x_1};x_1^2} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};x_2^2} \right)\) là hai giao điểm của hai đồ thị hàm số, khi đó \({x_1};\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1).

Áp dụng hệ thức Vi-et cho (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)\\{x_1}{x_2} = 2m + 3\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}{({x_1} - {x_2})^2} = 4 \Leftrightarrow {x^2}_1 + {x^2}_2 - 2{x_1}{x_2} = 4 \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\\ \Rightarrow 4{(m + 1)^2} - 4(2m + 3) = 4\\\Leftrightarrow {(m + 1)^2} - (2m + 3) = 1\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 3 (tmdk)\end{array}\)

Chọn D.