Giải các phương trình sau:a) \(\sqrt 3 \cot \left(...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) \(\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

b) \(a\sin x + b\cos x = c \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \\\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \sin x\cos \alpha  + \cos x\sin \alpha  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Giải phương trình lượng giác cơ bản của hàm sin.

Giải chi tiết:

a) \(\sqrt 3 \cot \left( {2x - 1} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow \cot \left( {2x - 1} \right) =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)\( \Leftrightarrow \cot \left( {2x - 1} \right) = \cot \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow 2x - 1 =  - \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in Z \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} - \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\,\,k \in Z\)

Vậy, phương trình có tập nghiêm \(S = \left\{ {\frac{1}{2} - \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\,\,k \in Z} \right\}\).

b) \(2\sin x + 2\cos x = \sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{4}\sin x + \sin \frac{\pi }{4}\cos x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in Z \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in Z\)

Vậy phương trình có tập nghiêm \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,\,\,k \in Z} \right\} \cup \left\{ {\frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,\,\,k \in Z} \right\}\).