Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  = t\,\,(t \ge 0)\). Tìm điều kiện của t, biện luận nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết:

Tập xác định \(D = R\)

\(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 2{x^2} = 2m + 1 + 4x\,\,\,\,\,(1)\,\, \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 4 + \sqrt {{x^2} - 2x + 2}  - 2m - 5 = 0\)

Đặt \(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  = t\,\,\)

Vì \({x^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\) với mọi x nên \(t \ge 1\)

Phương trình thành \(2{t^2} + t - 2m - 5 = 0\;\;\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2{t^2} + t = 2m + 5\)  

Số nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\) là số giao điểm của đường thẳng \(y = 2m + 5\) với đồ thị hàm số \(y = 2{t^2} + t\)

Ta có đồ thị hàm số \(y = 2{t^2} + t\)  như hình vẽ:

Phương trình (2) có nghiệm \(t \ge 1 \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = 2m + 5\) cắt đồ thị hàm số \(y = 2{t^2} + t\) tại ít nhất một điểm có hoành độ \(t \ge 1\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 2m + 5\) cắt đồ thị hàm số \(y = 2{t^2} + t\) tại ít nhất một điểm có hoành độ \(t \ge 1 \Leftrightarrow 2m + 5 \ge 3 \Leftrightarrow m \ge  - 1.\) 

 Mà \(\left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\m \in \left[ { - 6;\;60} \right]\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;\;0;\;1;.......;\;60} \right\}\)

Vậy có 62 giá trị thỏa mãn.

Chọn D.