Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-2}\) có đồ thị \(\left...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị, lấy giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận sao đó biện luận chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB

Giải chi tiết:

Tập xác định: \(D=R\backslash \left\{ 2 \right\}\); \({y}'=\frac{-4}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\). Ta có \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \)\(\Rightarrow \) tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=2\);

Và \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=1\)\(\Rightarrow \) tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\), suy ra \(I\left( 2;\,1 \right)\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) có dạng: \(d:\,y=\frac{-4}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}\)

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) nên \(A\left( 2;\,\frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-2} \right)\), \(B\left( 2{{x}_{0}}-2;\,1 \right)\).

Do tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(R=\frac{AB}{2}\).

Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IAB\) là: \(P=AB.\pi \). Chu vi bé nhất khi \(AB\) nhỏ nhất

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 4-2{{x}_{0}};\,\frac{8}{{{x}_{0}}-2} \right)\)\(\Rightarrow \)\(AB=\sqrt{4{{\left( 2-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{8}{{{x}_{0}}-2} \right)}^{2}}}\)\(\ge \sqrt{2\sqrt{4.64}}=4\sqrt{2}\)

Vậy \({{P}_{\min }}=4\sqrt{2}.\pi \).

Chọn A