Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t=\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}}\ge 0\Leftrightarrow \log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}={{t}^{2}}-2,\)

+) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}\)

+) Thay u_1­0, tìm giá trị của n.

Giải chi tiết:

Đặt \(t=\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}}\ge 0\Leftrightarrow \log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}={{t}^{2}}-2,\) khi đó giả thiết trở thành:

\(\Rightarrow \) \(\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}=-\,1\Leftrightarrow \log {{u}_{1}}+1=2\log {{u}_{10}}\Leftrightarrow \log \left( 10{{u}_{1}} \right)=\log {{\left( {{u}_{10}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow 10{{u}_{1}}={{\left( {{u}_{10}} \right)}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Mà \({{u}_{n\,+\,1}}=2{{u}_{n}}\,\,\ge \,\,{{u}_{n}}\) là cấp số nhân với công bội \(q=2\Rightarrow \,\,{{u}_{10}}={{2}^{9}}{{u}_{1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \ \ \ \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(10{{u}_{1}}={{\left( {{2}^{9}}{{u}_{1}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{2}^{18}}u_{1}^{2}=10{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{10}{{{2}^{18}}}\Rightarrow {{u}_{n}}={{2}^{n\,-\,1}}.\frac{10}{{{2}^{18}}}=\frac{{{2}^{n}}.10}{{{2}^{19}}}.\)

Do đó \({{u}_{n}}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow \frac{{{2}^{n}}.10}{{{2}^{19}}}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow n>{{\log }_{2}}\left( \frac{{{5}^{100}}{{.2}^{19}}}{10} \right)=-\,{{\log }_{2}}10+100{{\log }_{2}}5+19\,\,\approx \,\,247,87.\)

Vậy giá trị \(n\) nhỏ nhất thỏa mãn là \(n=248.\)

Chọn B