Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Trong (SAC) gọi H là trung điểm của AC. Vì \(\Delta SAC\) cân tại S nên \(SH \bot AC\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi D là trung điểm của BC. Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AD \bot BC\)

Trong (ABC) kẻ \(HE//AD \Rightarrow HE \bot BC\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BC \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\BC \bot HE\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SHE} \right)\)

Trong (SHE) kẻ \(HK \bot SE\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}HK \bot SE\\HK \bot BC\left( {BC \bot \left( {SHE} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = HK\)

Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Có \(\left\{ \begin{array}{l}AH = HC\\HE//AD\end{array} \right. \Rightarrow \)HE là đường trung bình của \(\Delta ACD \Rightarrow HE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\) và E là trung điểm của CD  \( \Rightarrow BE = \dfrac{3}{4}BC = \dfrac{{3a}}{4}\)

Vì \(BC \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow BC \bot SE \Rightarrow \Delta SEB\) vuông tại E \( \Rightarrow SE = BE.\tan 60 = \dfrac{{3a}}{4}.\sqrt 3  = \dfrac{{3\sqrt 3 a}}{4}.\)

Có: \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot HE \Rightarrow \Delta SHE\)vuông tại H

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SH = \sqrt {S{E^2} - H{E^2}}  = \sqrt {\dfrac{{27{a^2}}}{{16}} - \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}}  = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}a\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{2}{{3{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{3{a^2}}} = \dfrac{6}{{{a^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{a}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\end{array}\)

Chọn A.