Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông c...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\dfrac{{{V_{S.CEF}}}}{{{V_{S.CAB}}}} = \dfrac{{SE}}{{SA}}.\dfrac{{SF}}{{SB}}\)

Giải chi tiết:

+) Tính thể tích khối chóp S.ABC:

Tam giác ABC vuông cân tại A, \(BC = a\sqrt 2  \Rightarrow AB = AC = a\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}{a^2} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.{S_{ABC}}.SC = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{a^2}.a = \dfrac{1}{6}{a^3}\) 

+) Chứng minh \(CF \bot SB,\,\,CE \bot SA\):

Ta có: \(\left( {CEF} \right) \bot SB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CF \bot SB\\CE \bot SB\end{array} \right.\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow AB \bot CE\), mà \(SB \bot CE\)\( \Rightarrow CE \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CE \bot SA\)

+) Lập tỉ số thể tích của khối chóp S.CEF và S.ABC:

Tam giác SBC vuông tại C, CF là đường cao \( \Rightarrow S{C^2} = SF.SB \Rightarrow \dfrac{{S{C^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{SF}}{{SB}} \Rightarrow \dfrac{{SF}}{{SB}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2{a^2}}} = \dfrac{1}{3}\)

Tam giác SAC vuông tại C, CE là đường cao \( \Rightarrow S{C^2} = SE.SA \Rightarrow \dfrac{{S{C^2}}}{{S{A^2}}} = \dfrac{{SE}}{{SA}} \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SA}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2}}} = \dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.CEF}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SF}}{{SB}}.\dfrac{{SE}}{{SA}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.CEF}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{6}{a^3} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}\).

Chọn: B