Tính bán kính \(R\) mặt cầu n...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta BCD\), ta có \(AG \bot \left( {BCD} \right)\) nên \(AG\) là trục của \(\Delta BCD\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Qua \(M\) dựng đường thẳng \(\Delta  \bot AB\), gọi \(\left\{ I \right\} = \Delta  \cap AG\).

Do đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) có tâm là \(I\) và bán kính \(R = IA\).

Ta có \(\Delta AMI\) và \(\Delta AGB\) là hai tam giác vuông đồng dạng nên: \(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AG}} \Rightarrow AI = AB.\frac{{AM}}{{AG}}\).

Do \(AB = a\sqrt 2 ,\;AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(AG = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Khi đó \(R = AI = a\sqrt 2 .\frac{{a\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn B.