Cho tam giác OAB đều cạnh a. Trên đường thẳng d qu...

Câu hỏi: Cho tam giác OAB đều cạnh a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M sao cho OM=x. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB. Gọi N là giao điểm của EF và OM. Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất

A. $x = a \sqrt{2} .$

B. $x = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

C. $x = \frac{a \sqrt{6}}{12} .$

D. $x = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có

$\begin{array}{l} A F ⊥ O B, A F ⊥ M O \\ \Rightarrow A F ⊥ (M O B) \\ \Rightarrow A F ⊥ M B \end{array}$

Mà $M B ⊥ A E$ nên $M B ⊥ (A E F) \Rightarrow M B ⊥ E F$ .

Suy ra $Δ M O B ∽ Δ M E N$ , mà $Δ M E N ∽ Δ F O N$ nên $Δ M O B ∽ Δ F O N$ . Khi đó $\frac{O B}{O M} = \frac{O N}{O F}$ $\Rightarrow O N = \frac{O B . O F}{O M}$ $= \frac{a . \frac{a}{2}}{x} = \frac{a^{2}}{2 x}$ .

Từ

$\begin{array}{l} V_{A B M N} = V_{M . O A B} + V_{N . O A B} \\ = \frac{1}{3} . S_{Δ O A B} . (O M + O N) \\ = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . (x + \frac{a^{2}}{2 x}) \end{array}$

$\Rightarrow V_{A B M N} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{12} (x + \frac{a^{2}}{2 x})$ $\geq \frac{a^{2} \sqrt{3}}{12} .2 \sqrt{x . \frac{a^{2}}{2 x}}$ $= \frac{a^{2} \sqrt{3}}{12} . \sqrt{2} a$ $= \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$

Dấu “=” xảy ra

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x = \frac{a^{2}}{2 x} \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} = a^{2} \\ \Leftrightarrow x = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \end{array}$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

↑