Gọi(T) là tiếp tuyến của đồ thị...

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi $M\left(a;\frac{a+1}{a+2}\right)\in \left(C\right)\Rightarrow y\text{'}\left(a\right)=\frac{1}{{\left(a+2\right)}^2}$ nên phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

$y=\frac{a+1}{a+2}=\frac{1}{{\left(a+2\right)}^2}\left(x-a\right)\iff y=\frac{x}{{\left(a+2\right)}^2}+\frac{a^2+2a+2}{{\left(a+2\right)}^2}\left(d\right)$ 

Đường thẳng (d) cắt TCĐ tại $A\left(-2;\frac{a}{a+2}\right)\Rightarrow IA=\frac{2}{\left|a+2\right|}$ 

Đường thẳng (d) cắt TCN tại $B\left(2a+2;1\right)\Rightarrow IB=2\left|a+2\right|$ 

Suy ra $IA.IB=4$mà $A{B}^2=I{A}^2+I{B}^2\ge 2.IA.IB=8\Rightarrow AB\ge 2\sqrt{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{2}{\left|a+2\right|}=2\left|a+2\right|\iff \left|a+2\right|=1\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a=-1\\ a=-3\end{array}\right.$ 

Mà điểm M có tung  độ dương $\Rightarrow M\left(-3;2\right).$ Vậy $\left(d\right):y=x+5\Rightarrow S=\frac{25}{2}.$