Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật cạn...

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi $O=AC\cap BD$, H là trung điểm AD.

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC và G là trọng tâm $\Delta SAD$.

Đường thẳng d qua O và vuông góc với (ABCD) gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy (ABCD).

$∆$ qua G và vuông góc với (SAD) là trục của đường tròn ngoại tiếp (SAD).

Trong mặt phẳng (SHI), gọi I = $∆\cap d$

$\Rightarrow J$ cách đều các đỉnh của hình chóp

$\Rightarrow J$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD có bán kính

$R=JD=\sqrt{O{J}^2+O{D}^2}=\sqrt{G{H}^2+O{D}^2}$

Có $GH=\frac{1}{3}SH=\frac{1}{3}.a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$;

$$\begin{gathered} OD=\frac{1}{2}DB=\frac{a\sqrt{5}}{2} \\ \Rightarrow R=\sqrt{\frac{3a^2}{56}+\frac{5a^2}{4}}=\sqrt{\frac{4}{3}a} \\ \Rightarrow S_{mc}=4{\mathrm{\pi R}}^2=\frac{16}{3}{\mathrm{a}}^2 \end{gathered}$$