Cho \(f\left( x \right) = {\left( {{e^x} + {x^3}\c...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức đính đạo hàm:

${\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.u'.{u^{n - 1}};\,\,\,{\left( {u.v} \right)^\prime } = u'v + v'u$

${\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x};\,{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x;\,{\left( {\cos x} \right)^\prime } =  - \sin x$

Giải chi tiết:

Ta có :

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2018{\left( {{e^x} + {x^3}\cos x} \right)^{2017}}.{\left( {{e^x} + {x^3}\cos x} \right)^\prime }\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2018{\left( {{e^x} + {x^3}\cos x} \right)^{2017}}.\left( {{e^x} + 3{x^2}\cos x - {x^3}\sin x} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}f''\left( x \right) = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left[ {2018{{\left( {{e^x} + {x^3}\cos x} \right)}^{2017}}.\left( {{e^x} + 3{x^2}\cos x - {x^3}\sin x} \right)} \right]^\prime }\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2018.2017.{\left( {{e^x} + {x^3}\cos x} \right)^{2016}}.{\left( {{e^x} + {x^3}\cos x} \right)^\prime }\left( {{e^x} + 3{x^2}\cos x - {x^3}\sin x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2018.{\left( {{e^x} + {x^3}\cos x} \right)^{2017}}.{\left( {{e^x} + 3{x^2}\cos x - {x^3}\sin x} \right)^\prime }\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2018.2017.{\left( {{e^x} + {x^3}\cos x} \right)^{2016}}.{\left( {{e^x} + 3{x^2}\cos x - {x^3}\sin x} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2018.{\left( {{e^x} + {x^3}\cos x} \right)^{2017}}.\left( {{e^x} + 6x\cos x - 3{x^2}\sin x - 3{x^2}\sin x - {x^3}\cos x} \right)\end{array}$

Khi đó $f''\left( 0 \right) = 2018.2017.1.1 + 2018.1.1 = {2018^2}.$

Chọn C.