Cho tam giác đều ABC và điểm M nằm bất kì trên cạc...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

đoạn thẳng ngắn nhất là đoạn thẳng vuông góc.

Giải chi tiết:

\({C_{MDE}} = MD + ME + DE = \left( {BM + CM} \right).\sin {60^0} + DE\).

\(BC.\sin {60^0} + DE\) mà \(BC.\sin {60^0}\) không đổi nên chu vi MDE nhỏ nhất khi DE nhỏ nhất.

Tứ giác ADME nội tiếp đường tròn đường kính AM \(\left( {\angle ADM = \angle AEM = {{90}^0}} \right)\) nên tam giác ADE cũng nội tiếp đường tròn đường kính  AM, tâm I là trung điểm của AM.

Gọi K là trung điểm của DE, suy ra \(IK \bot DE\) và \(\angle EIK = \angle DAC\).

Gọi R là bán kính đường tròn tâm I bán kính AM thì \(\sin \angle KIE = \dfrac{{KE}}{{IE}} = \dfrac{{0,5.DE}}{R} = \dfrac{{DE}}{{2R}} = \dfrac{{DE}}{{AM}}\).

Nên \(DE = AM.\sin \angle BAC = AM.\sin {60^0}\).

Suy ra DE nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất, khi đó \(M \equiv H\) (H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, mà tam giác ABC cân nên H là trung điểm của BC.

Vậy khi M là trung điểm của BC thì chu vi tam giác MDE nhỏ nhất.