Mỗi điểm trong một mặt phẳng được tô bởi một trong...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Mỗi điểm trong một mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ.

1) Chứng minh trong mặt phẳng đó tồn tại hai điểm được tô bởi cùng một màu và có khoảng cách bằng \(d.\)

Xét \(\Delta ABC\) đều có cạnh là \(d.\)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) có hai điểm cùng màu.

Không mất tính tổng quát, giả sử hai điểm \(A,\,\,B\) cùng màu.

Khi đó ta có \(A,\,\,B\) cùng màu và có khoảng cách là \(d.\)  

2) Gọi tam giác có ba đỉnh được tô bởi cùng một màu là tam giác đơn sắc. Chứng minh trong mặt phẳng đó tồn tại hai tam giác đơn sắc là hai tam giác vuông và đồng dạng với nhau theo tỉ số \(k = \frac{1}{{2019}}.\)

Theo câu 1), ta có luôn tồn tại hai điểm \(C,\,\,D\) cùng màu và có khoảng cách là \(2019.\)

Không mất tính tổng quát, giả sử hai điểm \(C,\,\,D\) cùng màu đỏ.

Dựng lục giác đều \(CEFDGH.\)

Khi đó, nếu một trong các điểm \(E,\,\,F,\,\,G,\,\,H\) có một điểm được tô đỏ, giả sử điểm đó là \(E\) thì \(CED\) là tam giác vuông có ba đỉnh được tô màu đỏ.

Còn nếu \(E,\,\,F,\,\,G,\,\,H\) đều được tô màu xanh thì tam giác \(GFE\) là tam giác vuông có ba đỉnh được tô màu xanh.

Như vậy, trong mọi trường hợp đều tồn tại tam giác đơn sắc là tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là \(2019.\) 

Chứng minh tương tự, ta cũng thấy tồn tại tam giác đơn sắc là tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là \(1.\)

Từ hai kết quả trên, ta suy ra tồn tại hai tam giác đơn sắc là tam giác vuông đồng dạng với nhau theo tỉ số \(k = \frac{1}{{2019}}.\)