Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({x^2} + 2{y^2...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Coi \(x\) là ẩn và coi \(y\) là tham số sau đó tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm bằng cách sử dụng điều kiện \({\Delta _x}\) là số chính phương để đánh giá.

Giải chi tiết:

Đưa phương trình (1) về dạng phương trình ẩn \(x\)

\({x^2} + \left( {3y - 1} \right)x + 2{y^2} - y + 3 = 0\) (2)

Ta có: \({\Delta _x} = {\left( {3y - 1} \right)^2} - 4\left( {2{y^2} - y + 3} \right) = {y^2} - 2y - 11\)

Điều kiện cần để phương trình (2) có nghiệm nguyên là \({\Delta _x}\) là số chính phương

\( \Leftrightarrow {y^2} - 2y - 11 = {k^2} \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} - {k^2} =  - 12 \Leftrightarrow \left( {y - 1 + k} \right)\left( {y - 1 - k} \right) =  - 12\)

Do \(y - 1 + k\) và \(y - 1 - k\) cùng tính chẵn lẻ mà \(y - 1 + k > y - 1 - k\) nên ta có:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}y - 1 + k = 6\\y - 1 - k = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + k = 7\\y - k = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5\\k = 2\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + 14x + 48 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 6\\x =  - 8\end{array} \right. \Rightarrow \left( { - 6;5} \right),\left( { - 8;5} \right)\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}y - 1 + k =  - 2\\y - 1 - k =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + k =  - 1\\y - k =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\k = 2\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} - 10x + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( {6; - 3} \right),\left( {4; - 3} \right)\)

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên \(\left( { - 6;5} \right),\left( { - 8;5} \right),\left( {6; - 3} \right),\left( {4; - 3} \right)\)

Chọn B.