1) Tìm các cặp số nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Biến đổi VT của phương trình đã cho thành phương trình tích, từ đó có nhân tử.

2) Biến đổi độc lập từng phân thức của VT, chú ý áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết:

1) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: \(2{x^2} - 4{y^2} - 2xy - 3x - 3 = 0.\)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2{x^2} - 4{y^2} - 2xy - 3x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - 4xy - 2x} \right) + \left( {2xy - 4{y^2} - 2y} \right) - \left( {x - 2y - 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 2x\left( {x - 2y - 1} \right) + 2y\left( {x - 2y - 1} \right) - \left( {x - 2y - 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2y - 1} \right)\left( {2x + 2y - 1} \right) = 4\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Do \(x,\,\,y \in \mathbb{Z},\,\,2x + 2y - 1\) lẻ nên ta có các trường hợp sau đây:

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y - 1 =  - 1\\x - 2y - 1 =  - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y - 1 = 1\\x - 2y - 1 = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 0\\x - 2y =  - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 2\\x - 2y = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{3}\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\,\,\,\\x =  - \frac{4}{3}\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: \(\left( { - 1;\,\,1} \right).\)

2) Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c.\) Chứng minh: \(\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{bc\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{ac\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} \ge \frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{2b}} \Leftrightarrow \frac{{2\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)}}{{2ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} \ge \frac{{a + b}}{{2ab}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + {b^2} \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0.\end{array}\)

Điều này là luôn đúng, dấu “=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow a = b.\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{c^3} + {b^3}}}{{cb\left( {{c^2} + {b^2}} \right)}} \ge \frac{1}{{2c}} + \frac{1}{{2b}}\\\frac{{{c^3} + {a^3}}}{{ca\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}} \ge \frac{1}{{2c}} + \frac{1}{{2a}}\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế ta có:

\(\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{bc\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{ac\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}} \ge \frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{2b}} + \frac{1}{{2c}} + \frac{1}{{2c}} + \frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{2b}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.\)

Dấu “ = “ xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chọn B.