1) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, BC = 5, đườ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) a) Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn \(S=\pi {{R}^{2}}\)

    b) Chứng minh \(\widehat{FEH}=\widehat{ABC}\Rightarrow EF\)là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH. Chứng minh tương tự EF là tiếp tuyến đường tròn đường kính CH.

Chứng minh tứ giác BEFC là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

2) Đặt \(MN=2x,\)tính MQ theo x. Sử dụng BĐT Cauchy để tìm GTLN của \({{S}_{MNPQ}}\)

Giải chi tiết:

1) a) Tính diện tích nửa đường tròn đường kính BH.

 Ta có \(A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC\)vuông tại A (định lí Pitago đảo).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(BH=\frac{A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{16}{5}\)

\(\Rightarrow \) Diện tích nửa đường tròn đường kính BH là

\(S=\frac{1}{2}.\pi {{\left( \frac{BH}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}.\pi {{\left( \frac{8}{5} \right)}^{2}}=\frac{32\pi }{25}\,\,\left( dvdt \right)\)

b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH.

Gọi O₁ và O₂ lần lượt là trung điểm của BH và CH.

Dễ nhận thấy AEHF là hình chữ nhật (Tứ giác có ba góc vuông) \(\Rightarrow \widehat{CAH}=\widehat{FEH}\)

Mà \(\widehat{CAH}=\widehat{ABC}\)(cùng phụ với \(\widehat{BAH}\)) \(\Rightarrow \widehat{FEH}=\widehat{ABC}\)

Mà \(\widehat{ABC}\)nội tiếp chắn cung HE của đường tròn (O₁); \(\widehat{FEH}\)tạo bởi dây cung EH và tia EF ở vị trí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

\(\Rightarrow EF\)là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH.

Chứng minh tương tự ta có EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CH.

Vì AEHF là hình chữ nhật \(\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{AHF}\) Mà \(\widehat{AHF}=\widehat{ACB}\)(cùng phụ với \(\widehat{FHC}\))

\(\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ACB}\) Mà \(\widehat{AEF}+\widehat{BEF}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{ACB}+\widehat{BEF}={{180}^{0}}\Rightarrow \)tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

2) Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Tìm kích thước hình chữ nhật MNPQ có hai đỉnh M, N thuộc đường tròn, hai đỉnh P, Q  thuộc đường kính AB sao cho diện tích MNPQ lớn nhất.

Đặt \(MN=2x\) ta có \(AQ=R-x;\,\,BQ=R+x\)

Khi đó ta có \({{S}_{MNPQ}}=MN.MQ=2x.\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\le {{x}^{2}}+{{R}^{2}}-{{x}^{2}}={{R}^{2}}\)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AMB ta có \(MQ=\sqrt{AQ.BQ}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{R}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow MN=2x=R\sqrt{2};\,\,MQ=x=\frac{R}{\sqrt{2}}\)

 Chọn A